It's written in 2016,and I just carry it from another blog(zybuluo) of mine.

正文：

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众所周知，surreal number用来解决一类不平等博弈问题.
下面分两部分简述surreal number的运算和在博弈中应用.就是小结
传送门：matrix67

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surreal number

首先定义{x|y}为一个数当且仅当x中不存在数>=y中的某一数.这里x和y是一个数集，其中每一个都是这种数.其中小于等于是这个算术系统中比较大小的工具. 不妨设左边为左集合，右边为右集合. 首先定义 \( \alpha=\{\phi|\phi\} \)，它的意义相当于0;然后是\( \beta=\{\phi|\alpha\} \)，\(\gamma=\{\alpha|\phi\} \).

设新数左集合L,右集合R, 定义加法：

L = { u + y | u ∈ L(x) } ∪ { x + v | v ∈ L(y) }

R = { u + y | u ∈ R(x) } ∪ { x + v | v ∈ R(y) }

加法逆元：

L = { -u | u ∈ R(x) }

R = { -u | u ∈ L(x) }

乘法：

L = { u · y + x · v – u · v | u ∈ L(x), v ∈ L(y) } ∪ { u · y + x · v – u · v | u ∈ R(x), v ∈ R(y) }

R = { u · y + x · v – u · v | u ∈ L(x), v ∈ R(y) } ∪ { u · y + x · v – u · v | u ∈ R(x), v ∈ L(y) }

乘法逆元：

L = { 0 } ∪ { (1 + (u – x) · v) / u | u ∈ R(x), v ∈ L(\(x^{-1}\)) } ∪ { (1 + (u – x) · v) / u | u ∈ L(x), v ∈ R(\(x^{-1}\))}

R = { (1 + (u – x) · v) / u | u ∈ L(x), v ∈ L(\(x^{-1}\))} ∪ { (1 + (u – x) · v) / u | u ∈ R(x), v ∈ R(\(x^{-1}\))}

可以发现\(\alpha+\alpha=\alpha\),准确地说是\(\alpha+任意一个数=\alpha\),所以\(\alpha\)是加法单位（0）； 另外，\(\gamma*任意一个数=\gamma\),所以\(\gamma\)是乘法单位（1）； 类似地，可以定义\(\beta\)=-1,事实上\(\beta\)确实等于\(\gamma^{-1}\). 为了与实数系统对应的方便，定义若一个数a既大于等于b,又小于等于b，那么a=b. 那么原先对数的定义就应该修正为一个数集,其中包含所有拥有同样性质的数. 比如：

\(\alpha\) = { | } ， \(\delta\) = {\(\beta\) | \(\gamma\)} => \(\alpha\)小于等于 \(\delta\)，或者说δ 大于等于 \(\alpha\)

\(\delta = \{\beta | \gamma\}\) ， \(\alpha\) = { | } => \(\delta\) 小于等于 \(\alpha\)，或者说 \(\alpha\) 大于等于 \(\delta\)

那么\(\delta=\alpha\).
这个系统还有一些鬼畜的性质，比如"若x>=y,且y>=z,则x>=z"和"若x \(\not\ge\) y,那么x \(\le\) y”等等.
由于这个系统可以与实数系统一一对应，所以以下都用数字0,1,-1代替原本的希腊字母.
那么原本数之间的大小关系也可以直接通过实数比较方式得出了.
{1|}=2,
{2|}=3,
…
{x|}=x+1;
{|-1}=-2,…
{|-x}=-x-1;
{0|1}=1/2,{-1|0}=1/2;
{0|1/2}=1/4,
{0|1/4}=1/8..
{1|2}=3/2,
{0|2}=1…
（似乎{x|y}=(x+y)/2?）
特别地，1/3= {0, 1/4, 5/16, 21/64, … | 1/2, 3/8, 11/32, 43/128, …}
无限大\(\omega\)={0,1,2,…|}.
无穷小量\(\varepsilon\)={ 0 | 1, 1/2, 1/4, 1/8,…}

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博弈

设一个数表示一种棋局，其中左集合表示左玩家移动后的棋局，右集合表示右玩家移动后的棋局，那么棋局的后继状态对应左集合和右集合的数.
可以证明，一个棋局的surreal number>0-->左玩家必胜，<0-->右玩家必胜，=0-->后手必胜.
另外，由于surreal number的运算性质，可以直接将两种平行棋局的surreal number加起来，得到总棋局的surreal number.
当然，有一些棋局是surreal number不能表示的，比如两个玩家移动后的棋局决策完全相同.
似乎不好处理，具体问题具体处理咯owo 反正我不会.